Question

【題目】如圖，已知橢圓，過(guò)點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、．點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（）設(shè)直線、斜率分別為、．

①證明：；

②問(wèn)直線上是否存在一點(diǎn)，使直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析，②.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓過(guò)已知點(diǎn)和離心率結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于 、 、的方程組，求得和，則橢圓的方程可得；（2）①把直線的方程聯(lián)立求得交點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，代入直線上，整理求得，原式得證；②設(shè)出的坐標(biāo),聯(lián)立直線和橢圓的方程根據(jù)韋達(dá)定理表示出和,進(jìn)而可求得直線、斜率的和與、斜率的和,由，推斷出或分別討論可求得點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，，

所以，．

又，所以，，，

故橢圓方程為．

（）①設(shè)，則，，

因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，所以．

又，

所以．

②設(shè)，，，，

聯(lián)立直線與橢圓方程得，

化簡(jiǎn)得，

因此，，

由于、斜率存在，

所以，，因此，，

因此．

類似可以得到

，，，，，

故．

若，必須有或．

當(dāng)時(shí)，結(jié)合①的結(jié)論，可得，

所以解得點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)時(shí)，結(jié)合①的結(jié)論，可得或（舍去），

此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程得，．

因此點(diǎn)坐標(biāo)為．