【題目】設為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線,給出下列三個結(jié)論:
①存在使得是直角三角形;
②存在使得是等邊三角形;
③三條直線上存在四點使得四面體為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體,其中,所有正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
本題利用畫圖結(jié)合運動變化的思想進行分析.我們不妨先將 A、B、C 按如圖所示放置,容易看出此時 BC<AB=AC.
現(xiàn)在,我們將 A 和 B 往上移,并且總保持 AB=AC(這是可以做到的,只要 A、B 的速度滿足一定關系),而當A、B 移得很高很高時,就得到①和②都是正確的.至于③,結(jié)合條件利用反證法的思想方法進行說明即可
我們不妨先將 A、B、C按如圖所示放置.
容易看出此時BC<AB=AC.
現(xiàn)在,將A和B往上移,
并且總保持AB=AC(這是可以做到的,只要A、B的速度滿足一定關系),
而當A、B 移得很高很高時,
不難想象△ABC 將會變得很扁,
也就是會變成頂角A“非常鈍”的一個等腰鈍角三角形.
于是,在移動過程中,
總有一刻,使△ABC成為等邊三角形,
亦總有另一刻,使△ABC成為直角三角形(而且還是等腰的).
這樣,就得到①和②都是正確的.
至于③,如圖所示.
為方便書寫,稱三條兩兩垂直的棱所公共頂點為.
假設A是,
那么由 AD⊥AB,AD⊥AC,
知 L3⊥△ABC,
從而△ABC三邊的長就是三條直線的距離4、5、6,
這就與AB⊥AC 矛盾.
同理可知D是時也矛盾;
假設C是,
那么由BC⊥CA,BC⊥CD,
知BC⊥△CAD,
而 l1∥△CAD,故 BC⊥l1,
從而BC為l1與l2的距離,
于是 EF∥BC,EF=BC,這樣就得到EF⊥FG,矛盾.
同理可知B是時也矛盾.
綜上,不存在四點Ai(i=1,2,3,4),
使得四面體A1A2A3A4為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體.
故選C.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,直線y=4與y軸的交點為P,與拋物線C的交點為Q,且|QF|=2|PQ|.
(1)求p的值;
(2)已知點T(t,-2)為C上一點,M,N是C上異于點T的兩點,且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為,證明直線MN恒過定點,并求出定點的坐標.
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【題目】九章算術給出求羨除體積的“術”是:“并三廣,以深乘之,又以袤乘之,六而一”,其中的“廣”指羨除的三條平行側(cè)棱的長,“深”指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離,“袤”指這兩條側(cè)棱所在平行線之間的距離,用現(xiàn)代語言描述:在羨除中,,,,,兩條平行線與間的距離為h,直線到平面的距離為,則該羨除的體積為已知某羨除的三視圖如圖所示,則該羨除的體積為
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標系中,設點,,(其中表示a、b中的較大數(shù))為、兩點的“切比雪夫距離”.
(1)若,Q為直線上動點,求P、Q兩點“切比雪夫距離”的最小值;
(2)定點,動點滿足,請求出P點所在的曲線所圍成圖形的面積.
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【題目】已知圓:,點,.
(1)若線段的中垂線與圓相切,求實數(shù)的值;
(2)過直線上的點引圓的兩條切線,切點為,若,則稱點為“好點”. 若直線上有且只有兩個“好點”,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,已知四面體ABCD中,DA=DB=DC=且DA、DB、DC兩兩互相垂直,點是△ABC的中心.
(1)求直線DA與平面ABC所成角的大小(用反三角函數(shù)表示);
(2)過作OE⊥AD,垂足為E,求ΔDEO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積;
(3)將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周,則在旋轉(zhuǎn)過程中,直線DA與直線BC所成角記為,求的取值范圖.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,是矩形,平面平面,,,,為的中點.
(1)求證:∥平面;
(2)在線段上是否存在點,使二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD,,,,,點E為棱PC的中點.
1證明:;
2求BE的長;
3若F為棱PC上一點,滿足,求二面角的余弦值.
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