Question

（2011•朝陽區(qū)三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）若點M是棱PC的中點，求證：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C為30°，設(shè)PM=tMC，試確定t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本小題是一個證明線面平行的題，一般借助線面平行的判定定理求解，如圖連接AC，交BQ于N，連接MN，先證明MN∥PA，再由線面平行的判定理證明線面平行；
（II）本小題是一個證明面面垂直的題，可采用面面垂直的定義求二面角是直角，或者用面面垂直的判定理證明，由題設(shè)條件知，利用面面垂直的判定定理證明較易，觀察圖形與題設(shè)條件，法一：可通過證明BQ⊥平面PAD來證明面面垂直；法二：可通過證明AD⊥平面PBQ．證明平面PQB⊥平面PAD；
（III）本小題研究二面角為30°時，確定M的位置，再由M的位置確定出t的值，由（II）由面面垂直的性質(zhì)定理易得出Q點出發(fā)的三個線段QP，QA，QB兩兩垂直，故可以考慮建立空間坐標系利用空間向量將二面角的大小表示出來，利用二面角為30°建立方程求出t的值

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，交BQ于N，連接MN．     …（1分）
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，即BC

∥ .

.

AQ，
∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，
又∵點M在是棱PC的中點，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD．         …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．   …（9分）
另證：AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點
∴BC∥DQ 且BC=DQ，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD． …（6分）
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．        …（7分）
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．  …（8分）
∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．        …（9分）
（Ⅲ）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（10分）
（不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．
則平面BQC的法向量為

n

=(0，0，1)；Q（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)．…（11分）
設(shè)M（x，y，z），
則

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，
∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，
∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

…（12分）
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
∴平面MBQ法向量為

m

=(

3

，0，t)．
∵二面角M-BQ-C為30°，cos30°=

n • m

| n || m |

=

t

3+0+t2

=

3

2

，
∴t=3．               …（13分）

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何證明題，考查了二面角的求法，面面垂直的證明方法以及線面平行的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，面面垂直與線面平行的相關(guān)定理定義等，向量中的方程與立體幾何中位置關(guān)系的對應(yīng)，如數(shù)量積為0與垂直的對應(yīng)，向量的共線與平行的對應(yīng)，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應(yīng)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，考查了待定系數(shù)建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉(zhuǎn)化的能力，本題運算量大，且多是符號運算，解題時要嚴謹