Question

已知f(x)=

3

sin(x+

π

3

)-cosx．
（I）求f（x）在[0，π]上的最小值；
（II）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，b=5

3

，cosA=

3

5

，且f（B）=1，求邊a的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）的解析式的第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，去括號整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，得出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出f（x）的值域，即可確定出f（x）的最小值；
（II）由f（B）=1，將x=B代入函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到關于x的方程，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，可得出B的度數(shù)，進而確定出sinB的值，由cosA的值，以及A為三角形的內(nèi)家，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinA的值，再由b的值，利用正弦定理即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-cosx
=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
∵

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴x=π時，f（x）_min=-

1

2

；
（II）∵f（B）=1，
∴x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，又B為三角形的內(nèi)角，
∴B=

π

3

，
∵cosA=

3

5

，∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
又b=5

3

，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，得a=

bsinA

sinB

=

5 3 × 4 5

3 2

=8．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域與值域，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及正弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．