Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，n∈N^*，其導函數(shù)記為f′_n（x），且滿足．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x），求g（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）試求關(guān)于x的方程在區(qū)間（0，1）上的實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵y=g（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
則y′=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y′=0，得x₁=0，x₂=，x₃=1，且x₁＜x₂＜x₃，
當n為正偶數(shù)時，隨x的變化，y′與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	（0，）		（，1）		（1，+∞）
y′	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值		極小值

所以當x=時，y_極大=；當x=1時，y極小=0．
當n為正奇數(shù)時，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	（0，）		（，1）		（1，+∞）
y′	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值

所以x=時，y_極大=；無極小值．
（II）=，即=（x≠-1），
所以方程為•=（x≠-1），
∴x==＞0，
又x-1=，而對于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二項式定理可證），
∴x＜1．
綜上，對于任意給定的正整數(shù)n，方程只有唯一實根，且總在區(qū)間（0，1）內(nèi)，所以原方程在區(qū)間（0，1）上有唯一實根．
分析：（Ⅰ）依題意，可求得g′（x），令g′（x）=0，得x₁=0，x₂=，x₃=1，且x₁＜x₂＜x₃，分n為正偶數(shù)與n為正奇數(shù)討論，隨x的變化，y′與y的變化情況即可求g（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）依題意，可求得x=＞0，對于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2，于是x-1=＜0，從而可求得0＜x＜1，于是在區(qū)間（0，1）上方程只有唯一實根．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，（Ⅰ）中對n分n為正偶數(shù)與n為正奇數(shù)討論，隨x的變化，y′與y的變化情況求g（x）的值是難點，考查推理分析與復(fù)雜的運算能力，屬于難題．