Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點
（1）求證：AB⊥面BEF；
（2）設(shè)PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，

以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），

E（1，1， ），F(xiàn)（1，2，0），

=（0，1， ）， =（0，2，0）， =（﹣2，0，0），

∴ =0， =0，

∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．

∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF

（2）解：設(shè)面BCD的法向量為 ，則 （0，0，1），

設(shè)面BDE的法向量為 （x，y，z），

∵ =（﹣1，2，0）， =（0，1， ），

∴ ，取x=2，得 =（2，1，﹣ ），

∵二面角E﹣BD﹣C大于45°，

∴cos＜ ＞= ＜cos45°= ，

由h＞0，解得h＞ ，

∴h的取值范圍是（ ，+∞）．

【解析】（1）以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB⊥面BEF．（2）求出面BCD的法向量和面DE的法向量，利用向量法能求出h的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．