Question

若關(guān)于x的方程

1

2

x2+

2a

x-

1

2

b+3=0與

1

4

x2+

2b

x-a+6=0在R上都有解，則2^3a•2^b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)二次方程根的個數(shù)與判別式有關(guān)，令兩個方程的判別式都大于等于0，且注意被開方數(shù)大于等于0，列出不等式組，畫出可行域；利用同底數(shù)的冪的運算法則化簡要求的式子；利用線性規(guī)劃求出指數(shù)的最小值，從而求出式子的最小值．

解答：解：∵

1

2

x2+

2a

x-

1

2

b+3=0在R上有解
∴△1=2a-4×

1

2

×(-

1

2

b+3)≥0
即2a+b≥6且a≥0①
∵

1

4

x2+

2b

x-a+6=0
∴△2=2b-4×

1

4

×(-a+6)≥0
即a+2b≥6且b≥0②作出①②對應的可行域


∵2^3a•2^b=2^3a+b，令z=3a+b變形為b=-3a+z，作出相應的直線，結(jié)合圖象，當直線移至（0，6）時直線的縱截距最小，此時z最小為6
∴2^3a•2^b=2^3a+b≥2⁶=64
故答案為：64

點評：本題考查二次方程的根的個數(shù)取決于判別式、開偶次方根的被開方數(shù)大于等于0、不等式組表示的平面區(qū)域、利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值、同底數(shù)的冪的運算法則．