【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，過AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l.下面給出了四個(gè)命題：這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

①l∥AC；

②BM⊥AC；

③l和AD1所成的角為60°；

④線段BM長度的最小值為.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

①由ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得BD⊥平面A1ACC1，可得面A1ACC1為平面α，再判斷；②結(jié)合①根據(jù)底面是正方形判斷.③利用異面直線所成的角的定義判斷.④利用垂線段最短，當(dāng)M是A1C1的中點(diǎn)時(shí)求解判斷.

如圖所示：

由ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得BD⊥平面A1ACC1，

即平面A1ACC1為平面α，直線A1C1為l，則l∥AC，故①正確；

由M∈l，即M∈A1C1，只有當(dāng)M為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，有BM⊥AC，

當(dāng)M在l上其它位置時(shí)，BM與AC不垂直，故②錯(cuò)誤；

由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即為l和AD1所成角，

∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③錯(cuò)誤；

由A1B＝BC1，可知當(dāng)M是A1C1的中點(diǎn)時(shí)，BM⊥A1C1，

此時(shí)線段BM取得最小值，且BM，∴④錯(cuò)誤.

故只有①正確.

故選：A.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓與過其右焦點(diǎn)F（1，0）的直線交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，且直線l與直線OD的斜率之積為.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為M，kMA，kMB分別表示直線MA，MB的斜率，求證.

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【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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（1）點(diǎn)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，寫出曲線C的參數(shù)方程，并求出的最大值；

（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），又直線l與曲線C的交點(diǎn)為E，F，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段EF的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

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A.B.C.D.

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