在直角梯形中，，，，如圖，把沿翻折，使得平面平面．

（1）求證：；
（2）若點為線段中點，求點到平面的距離；
（3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

(1)證明過程詳見解析;（2）  （3）存在

解析試題分析：
（1）據(jù)題意，要證明，由線面垂直的性質(zhì)例一得到只需要證明DC面ABD，又有面ABD與面BCD垂直，故根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，只需要證明DC垂直于面ABD與面BCD的交線BD,DC與BC垂直的證明可以放在直角梯形中利用勾股定理與余弦定理證明，三角形BCD為直角三角形.
（2）由（1）得平面，所以．以點為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸，利用三維空間直角坐標系即可求的點面距離，即首先求出線段MC與面ADC的法向量的夾角，再利用三角函數(shù)值即可求的點面距離.此外，該題還可以利用等體積法來求的點面距離，即三棱錐M-ADC的體積，分別以M點為頂點和以A點為定點來求解三棱錐的體積，解出高即為點面距離.
（3）該問利用坐標法最為簡潔，在第二問建立的坐標系的基礎(chǔ)上，設(shè),，利用來表示N點的坐標，求出面ACD的法向量，法向量與AN所成的夾角即為與平面所成角為的余角，利用該條件即可求出的值，進而得到N點的位置.
試題解析：
（1）證明：因為，
，，所以，，                      1分
，  2分
 ，所以        3分．
因為平面平面,平面平面，
所以平面                      4分．
又平面，所以          5分．

（2）解法1：因為平面，所以．以點為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸,過點作垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖．由已知，得，，，，．所以，，．  7分．設(shè)平面的法向量為，則，，所以令，得平面的一個法向量為   9分
所以點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是以為直徑的半圓上異于、的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且.

（1）求證：；
（2）若異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點．

(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，，,，且滿足.

（1）求證：平面側(cè)面；
（2）求二面角的平面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，BD是對角線，過點A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點D到點P的位置，且PB＝.

(1)求證：PO⊥平面ABCE；
(2)求二面角E­AP­B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，點M在線段EC上（除端點外）

（1）當點M為EC中點時，求證：平面；
（2）若平面與平面ABF所成二面角為銳角，且該二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．

(1)求證://平面；
(2)求與平面BDE所成角的余弦值；
(3)線段PC上是否存在一點M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分別是CE，CF的中點．

(1)求證：平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是邊長為3的正方形，，，與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點是線段上一動點，試確定的位置，使得，并證明你的結(jié)論．

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