【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，當時，證明：；

（2）若當時，，求的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由，可得.令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值為，可得，所以在上單調(diào)遞增，據(jù)此即可證明結(jié)果.

（2）.令，，可得.令，，，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，對進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

（1），，，.

令，.

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

的最小值為，所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，所以，故.

（2）.

令，，

.

令，，，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即.

①當，即時，，在上單調(diào)遞增，所以滿足條件.

②當，即時，，顯然不滿足條件.

③當，即時，若，，

令，，，，

故存在，使時，，即在上單調(diào)遞減，所以，

即，，故不滿足條件.

綜上，的取值范圍是.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，是正方體的棱的中點，下列命題中真命題是（ ）

A.過點有且只有一條直線與直線都相交

B.過點有且只有一條直線與直線都垂直

C.過點有且只有一個平面與直線都相交

D.過點有且只有一個平面與直線都平行

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【題目】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，為三棱錐外一點，且為等邊三角形．

證明：；

若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長．

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【題目】2020年3月22日是第二十八屆“世界水日”3月22-28日是第三十三屆“中國水周”，主題為“堅持節(jié)水優(yōu)先，建設(shè)幸福河湖”，效仿階梯電價，某市準備實施階梯水價.階梯水價原則上以一套住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準，具體劃分階梯如下：

梯類

第一階梯

第二階梯

第三階梯

月用水量范圍（立方米）

從本市居民用戶中隨機抽取10戶，并統(tǒng)計了在同一個月份的月用水量，得到如圖所示的莖葉圖

（1）若從這10戶中任意抽取三戶，求取到第二階梯用戶數(shù)的分布列和數(shù)學期望；

（2）用以上樣本估計全市的居民用水情況，現(xiàn)從全市隨機抽取10戶，則抽到多少戶為第二階梯用戶的可能性最大？

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【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知為圓上一點，過點作軸的垂線交軸于點，點滿足

（1）求動點的軌跡方程；

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【題目】如圖，已知四邊形為等腰梯形，為正方形，平面平面，，.

(1)求證:平面平面；

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【題目】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點，是拋物線上一點，過點作拋物線的切線，與橢圓交于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線平分弦，求的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求實數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)有2個不同的零點，．

①求實數(shù)a的取值范圍；

②求證：．

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