【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)證明: 時, ;

(Ⅲ)比較三個數(shù): , , 的大。為自然對數(shù)的底數(shù)),請說明理由.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求導分討論其單調(diào)性,

(Ⅱ)等價于,構造函數(shù)利用其在上單調(diào)性證明,再構造利用其在上的單調(diào)性;

(Ⅲ)由(Ⅱ)的結論,通過賦值可得證.

試題解析:

(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,因為,

時, ,所以函數(shù)上單調(diào)遞增;

時,由,,由,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)①因為,不等式等價于,令,則,由,所以不等式)等價于: ,即: ),由(Ⅰ)得:函數(shù)上單調(diào)遞增,所以,即:

②因為,不等式等價于,令,則,所以,所以函數(shù)上為減函數(shù),所以,即

由①②得: 時,

(Ⅲ)由(Ⅱ)得: 時, ,所以令,得,即,所以;

又因為),所以,令得: ,所以,從而得

所以,

點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立,及不等式的證明問題.要求單調(diào)性,求導比較導方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào),只需要證明其導函數(shù)大于等于0(或者恒小于等于0即可),要證明一個不等式,我們可以先根據(jù)題意構造新函數(shù),求其值最值即可.這類問題的通解方法就是:劃歸與轉化之后,就可以假設相對應的函數(shù),然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質,進而求解得結果.

練習冊系列答案
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