如圖,在棱長為a的正方體A1B1C1D1-ABCD中,
(1)作出面A1BC1與面ABCD的交線l,判斷l(xiāng)與直線A1C1位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明B1D⊥面A1BC1;
(3)求直線AC到面A1BC1的距離;
(4)若以A為坐標原點,分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,試寫出C,C1兩點的坐標.
分析:(1)在平面ABCD內(nèi)過點B作AC的平行線BE,由AC∥A1C1,AC∥BE,知BE∥A1C1,故直線BE就是所求的直線l.且l∥A1C1
(2)由A1C1⊥面DBB1D1,知A1C1⊥B1D.由A1B⊥面ADC1B1,知A1B⊥B1D,所以B1D⊥面A1BC1
(3)AC∥A1C1,且AC在面A1BC1外,A1C1?面A1BC1,所以AC∥面A1BC1,直線AC到面A1BC1的距離即為點A到面A1BC1的距離,記為h,由等積法能求出h=
6
3
a

(4)若以A為坐標原點,分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,能寫出C,C1兩點的坐標.
解答:(1)解:在平面ABCD內(nèi)過點B作AC的平行線BE,
∵AC∥A1C1,AC∥BE,
∴BE∥A1C1,
∴面A1BC1與面ABCD的交線l與BE重合,
即直線BE就是所求的直線l.
∵BE∥A1C1,
l與BE重合,
∴l(xiāng)∥A1C1
(2)證明:連接B1D1,
∵A1B1C1D1是正方形,
∴A1C1⊥B1D1,
∵A1C1⊥DD1
∴A1C1⊥面DBB1D1
∴A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥面ADC1B1,
∴A1B⊥B1D,
∵A1C1∩A1B=A1,
∴B1D⊥面A1BC1
(3)解:∵AC∥A1C1,且AC在面A1BC1外,A1C1?面A1BC1,
∴AC∥面A1BC1
∴直線AC到面A1BC1的距離即為點A到面A1BC1的距離,記為h,
在三棱錐中A-A1BC1中,
 VA_A1BC1=VC1-ABA1,
∵正方體A1B1C1D1-ABCD棱長為a,
VA-A1BC1=
1
3
SA1C1•h=
1
3
×
1
2
×(
2
a)
2
×h
×sin60°=
3
a2
6
h
,
VC1-ABA1=
1
3
S△ABA1
•A1C1=
1
3
1
2
•a•a•
2
a
=
2
6
a3
,
VA_A1BC1=VC1-ABA1,
h=
6
3
a

(4)解:若以A為坐標原點,
分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
∵正方體A1B1C1D1-ABCD的棱長為a,
∴C(a,a,0),C1(a,a,a).
點評:本題考查空間中點、線、面間的距離,證明直線和平面垂直,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.解題時要認真審題,仔細解答.
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A.
B.
C.
D.

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