Question

【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足 =pn+r（p，r為常數(shù)），其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（1）若p=1，r=0，求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若p= ，a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）若a2015=2015a1 ， 求pr的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由p=1，r=0，得Sn=nan，

∴Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1（n≥2），

兩式相減，得an﹣an﹣1=0（n≥2），

∴{an}是等差數(shù)列

（2）解：令n=1，得p+r=1，∴ ，

則 ，

∴ ，兩式相減，

得 ，

∴ ，

化簡得 ，

∴ ，

又a1=2適合 ，

∴

（3）解：由（2）知r=1﹣p，

∴Sn=（pn+1﹣p）an，得Sn﹣1=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），

兩式相減，得p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），

易知p≠0，∴ ．

①當 時，得 ，

∴ ，

滿足a2015=2015a1；

②當 時，由p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），又an＞0，

∴p（n﹣1）an＜pnan﹣1（n≥2），即 ，

∴ ，不滿足a2015=2015a1；

③當 且p≠0時，類似可以證明a2015=2015a1也不成立；

綜上所述， ， ，∴

【解析】（1）利用遞推關系即可得出；（2）利用遞推關系與“累乘求積”即可得出；（3）利用遞推關系，對q分類討論即可得出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等差關系的確定和數(shù)列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．