Question

【題目】已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列， 為前項(xiàng)和， 和的等差中項(xiàng)為，且．令數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）求及；

（2）是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），

（Ⅱ）當(dāng)可以使成等比數(shù)列．

【解析】試題分析：（1）由于和的等差中項(xiàng)為，可得，又．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式將其轉(zhuǎn)化為表示，解方程組求出其值，進(jìn)而得到，結(jié)合通項(xiàng)公式特點(diǎn)可采用裂項(xiàng)相消法求和；

（2）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，則，當(dāng)m=2時(shí)，化為，解得一組m，n的值滿足條件．當(dāng)m≥3時(shí)，由于關(guān)于m單調(diào)遞增，可知，化為5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則由題意得

整理得

所以

由

所以

（Ⅱ）假設(shè)存在

由（Ⅰ）知， ，所以

若成等比，則有

，（1）

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，帶入（1）式，得；

綜上，當(dāng)可以使成等比數(shù)列．