【題目】設集合由滿足下列兩個條件的數(shù)列構成:①②存在實數(shù)使對任意正整數(shù)都成立.

1)現(xiàn)在給出只有5項的有限數(shù)列其中試判斷數(shù)列是否為集合的元素;

2)數(shù)列的前項和為且對任意正整數(shù)在直線上,證明:數(shù)列并寫出實數(shù)的取值范圍;

3)設數(shù)列且對滿足條件②中的實數(shù)的最小值都有求證:數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列.

【答案】(1)數(shù)列不是集合中的元素;數(shù)列是集合中的元素(2)證明見解析,實數(shù)的取值范圍是實數(shù)的取值范圍是(3)證明見解析

【解析】

1)由于,可知數(shù)列不滿足條件①,對數(shù)列中的每項逐一驗證性質(zhì)①,根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得性質(zhì)②,進而可得結(jié)果;(2)由于點在直線上,可得,利用遞推關系可得:,利用等比數(shù)列的前項和公式可得,驗證,可知條件①成立,由于,即可得出條件②及其,的范圍;(3)利用反證法:若數(shù)列非單調(diào)遞增,則一定存在正整數(shù),使成立,再結(jié)合數(shù)學歸納法證明即可.

1)對于數(shù)列,∵,不滿足集合的條件①,

∴數(shù)列不是集合中的元素.

對于數(shù)列,∵,

,而且,當時有顯然滿足集合的條件①②,故數(shù)列是集合中的元素.

2)因為點在直線上,

所以①當時,有

②,得所以,當時,有

,所以

因此對任意正整數(shù)都有,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,

對任意正整數(shù),都有,且,

,實數(shù)的取值范圍是,實數(shù)的取值范圍是

3)假設數(shù)列不是單遞增數(shù)列,則一定存在正整數(shù),使

此時,我們用數(shù)學歸納法證明:對于任意的正整數(shù),當時都有成立.

時,顯然有成立;

②假設時,

則當時,由可得從而有

所以

由①②知,對任意的都有1

顯然個值中一定有一個最大的,不妨記為于是

從而與已知條件相矛盾.

所以假設不成立,故命題得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,,過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點,且

1)若,求橢圓的方程;

2)直線AB的斜率;

3)設點C與點A關于坐標原點對稱,直線上有一點的外接圓上,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.

(1)求雙曲線的標準方程;

(2)是否存在點P使得為直角三角形?若存在,求出點P的個數(shù);

(3)直線與直線分別交于點,證明:以為直徑的圓必過定點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.

1)求的普通方程和的直角坐標方程;

2)直線軸的交點為,經(jīng)過點的直線與曲線交于兩點,若,求直線的傾斜角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】是數(shù)列的前n項和,對任意都有,(其中k、bp都是常數(shù)).

1)當、時,求

2)當、時,若,求數(shù)列的通項公式;

3)若數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是封閉數(shù)列。當、、時,.試問:是否存在這樣的封閉數(shù)列.使得對任意.都有,且.若存在,求數(shù)列的首項的所有取值的集合;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】正方體的棱長為2,動點在對角線上,過點作垂直于的平面,記平面截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為,設.

1)下列說法中,正確的編號為__________.

截面多邊形可能為四邊形;函數(shù)的圖象關于對稱.

2)當時,三棱錐的外接球的表面積為__________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡,是由黃岡市旅游局策劃,黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程,持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費支出情況單位:百元,相關部門對已游覽某簽約景區(qū)的游客進行隨機問卷調(diào)查,并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表:

組別

頻數(shù)

10

390

400

188

12

求所得樣本的中位數(shù)精確到百元

根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該市總?cè)丝跒?/span>750萬人,試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上;

若年旅游消費支出在百元以上的游客一年內(nèi)會繼續(xù)來該景點游玩現(xiàn)從游客中隨機抽取3人,一年內(nèi)繼續(xù)來該景點游玩記2分,不來該景點游玩記1分,將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,且游客之間的選擇意愿相互獨立,記總得分為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù):,;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,點在橢圓.

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線與圓相切,與橢圓相交于兩點,求證:是定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案