Question

【題目】若函數(shù)對(duì)任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．

（1）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由．①；②．

（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，且，求證：對(duì)任意有；

（3）在（2）的條件下，是否對(duì)任意均有．若成立給出證明，若不成立給出反例．

Answer 1

【答案】（1）①具有性質(zhì)；②不具有性質(zhì)，見解析；（2）見解析（3）不成立，見解析

【解析】

（1）①根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算出的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，判斷其符號(hào)即可得到結(jié)論；②由，舉出當(dāng)時(shí)，不滿足，即可得到結(jié)論；

（2）由于本題是任意性的證明，從下面證明比較困難，故可以采用反證法進(jìn)行證明，即假設(shè)為中第一個(gè)大于0的值，由此推理得到矛盾，進(jìn)而假設(shè)不成立，原命題為真；

（3）由（2）中的結(jié)論，我們可以舉出反例，如，證明對(duì)任意均有不成立．

證明：（1）①函數(shù)具有性質(zhì)，

，

因?yàn)?/span>，，

即，

此函數(shù)為具有性質(zhì)；

②函數(shù)不具有性質(zhì)，

例如，當(dāng)時(shí)，

，，

所以，，

此函數(shù)不具有性質(zhì)．

（2）假設(shè)為中第一個(gè)大于0的值，

則，

因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，

所以，對(duì)于任意，

均有，

所以，

所以，

與矛盾，

所以，對(duì)任意的有．

（3）不成立．

例如，

證明：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，，均為有理數(shù)，

，

當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，，均為無理數(shù)，

所以，函數(shù)對(duì)任意的，

均有，

即函數(shù)具有性質(zhì)．

而當(dāng)且當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，．

所以，在（2）的條件下，

“對(duì)任意均有”不成立．

如，，

等．