精英家教網(wǎng)【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F．
（1）求證：CD2=AE•BC；
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長．
分析：（1）由已知條件，利用直線平行的性質(zhì)和弦切角定理推導(dǎo)出△EAB∽△ABC，由此能證明CD2=AE•BC．
（2）由已知條件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出結(jié)果．
解答：解：（1）因為AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．
又因為FB與圓O相切于點B，
所以∠EBA=∠ACB，
所以△EAB∽△ABC，
所以
AE
BA
=
AB
BC
，即AB2=AE•BC，
因為AB=CD，所以CD2=AE•BC．
（2）因為AB2=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，
所以AE=
AB2
BC
=
25
8
，
因為AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，
又因為∠EBA=∠ACB，
所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，
所以△FEA∽△FAB，
所以
AE
AB
=
EF
AF
，
所以EF=
AE
AB
•AF=
15
4
．
點評：本題考查三角形相似的應(yīng)用，考查與圓有關(guān)的線段長的求法，解題時要注意弦切角定理和三角形相似的性質(zhì)的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4-1：幾何證明選講】
已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，AC=AB，CO交⊙O于點P，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E．
（1）求證：FA∥BE；
（2）求證：
AP
PC
=
FA
AB
；
（3）若⊙O的直徑AB=2，求tan∠PFA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2014•蘭州一模）【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AB于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于點M．
（1）求證：O、B、D、E四點共圓；
（2）求證：2DE2=DM•AC+DM•AB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．求證：DH=DG．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4—1：幾何證明選講】

 如圖，在正△ABC中，點D,E分別在邊AC, AB上，且AD=AC

AE=AB，BD，CE相交于點F.

 （1）求證：A，E，F(xiàn)，D四點共圓；

 
 （2）若正△ABC的邊長為2，求A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑．

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