【選修4-1：幾何證明選講】
已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：FA∥BE；
（2）求證：
AP
PC
=
FA
AB
；
（3）若⊙O的直徑AB=2，求tan∠PFA的值．
分析：（1）根據(jù)三角形中等邊對(duì)等角得到∠OAF=∠F，由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠B=∠F，從而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．
（2）根據(jù)弦切角定理得∠PAC=∠F，從而證出△APC∽△FAC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例及AB=AC，證出
PA
FA
=
PC
AB
，再根據(jù)比例的性質(zhì)整理可得
AP
PC
=
FA
AB
．
（3）根據(jù)切割線定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得CP（CP+PF）=AC2=4，由此解出CP=
5
-1（舍負(fù)）．再由FP為⊙O的直徑得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合（2）中的結(jié)論即可算出tan∠PFA的值．
解答：解：（1）∵在⊙O中，直徑AB與FP交于點(diǎn)O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC為⊙O的切線，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
PA
FA
=
PC
AC

∵AB=AC，
∴
PA
FA
=
PC
AB
，變形整理可得
AP
PC
=
FA
AB
．
（3）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，CPF為⊙O的割線，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
5

∵CP＞0，∴CP=
5
-1．
∵FP為⊙O的直徑，∴∠FAP=90°
 由（2）中的結(jié)論，得
PA
FA
=
PC
AC
，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
PA
FA
=
PC
AC
=
5
-1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了等腰三角形的性質(zhì)、兩條直線平行的判定、切割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角和直角三角形中三角函數(shù)的定義等知識(shí)，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2014•蘭州一模）【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接OD交圓O于點(diǎn)M．
（1）求證：O、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）求證：2DE2=DM•AC+DM•AB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)G．求證：DH=DG．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過(guò)點(diǎn)B引圓O的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F．
（1）求證：CD2=AE•BC；
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【選修4—1：幾何證明選講】

 如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上，且AD=AC

AE=AB，BD，CE相交于點(diǎn)F.

 （1）求證：A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓；

 
 （2）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2，求A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑．

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