Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=PA=4，A點在PD上的射影為G點，E點在AB上，平面PCE⊥平面PCD．
（1）求證：AG⊥平面PCD；
（2）求直線PD與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A

∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，

又PD⊥AG，CD∩PD=D

∴AG⊥平面PCD

（2）解：如圖建立坐標(biāo)系，則P（0，0，3），C（4，4，0），D（0，4，0），G（0，2，2），

設(shè)E（a，0，0），由（1）知： 是面PCD的法向量，

又 ， ，設(shè)面PCE的法向量為 ，

則 ，取x=4，得：

因平面PCE⊥平面PCD， ，∴a=2，即：

又 ，設(shè)PD與面PCE所成的角為θ，

則：

【解析】（1）先證明出CD⊥平面PAD，進而可推斷出CD⊥AG，然后利用AG⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理證明出結(jié)論．（2）建立坐標(biāo)系，先求出面PCE的法向量，再利用向量的夾角公式求出直線PD與平面PCE所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．