【題目】設(shè)數(shù)列的前n項和為,已知,().
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列滿足:,.
① 求數(shù)列的通項公式;
② 是否存在正整數(shù)n,使得成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,首項為1,公比為2.(2),
【解析】
(1)由題設(shè)的遞推關(guān)系式,得到(),即可證得數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)① 由(1)知,,化簡得,則數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,即可求得.
②利用乘公比錯位相減法,求得,進而得到,顯然當(dāng) 時,上式成立,設(shè),由,所以數(shù)列單調(diào)遞減,進而得到結(jié)論.
(1)解:由,得(),
兩式相減,得,即().
因為,由,得,所以,
所以對任意都成立,
所以數(shù)列為等比數(shù)列,首項為1,公比為2.
(2)① 由(1)知,,
由,得,
即,即,
因為,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
所以,
所以.
② 設(shè),
則,
所以,
兩式相減,
得 ,
所以.
由,得,即.
顯然當(dāng)時,上式成立,
設(shè)(),即.
因為,
所以數(shù)列單調(diào)遞減,
所以只有唯一解,
所以存在唯一正整數(shù),使得成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】玉山一中籃球體育測試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試,“立定投籃”和“三步上籃”各有2次投籃機會,先進行“立定投籃”測試,如果合格才能參加“三步上籃”測試.為了節(jié)約時間,每項測試只需且必須投中一次即為合格.小華同學(xué)“立定投籃”的命中率為,“三步上籃”的命中率為.假設(shè)小華不放棄任何一次投籃機會且每次投籃是否命中相互獨立.
(1)求小華同學(xué)兩項測試均合格的概率;
(2)設(shè)測試過程中小華投籃次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況,抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲~18歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下:求:
(1)根據(jù)直方圖可得這100名學(xué)生中體重在(56,64)的學(xué)生人數(shù).
(2)請根據(jù)上面的頻率分布直方圖估計該地區(qū)17.5-18歲的男生體重.
(3)若在這100名男生中隨意抽取1人,該生體重低于62的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:離心率為,其短軸長為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,A為橢圓C的左頂點,P,Q為橢圓C上兩動點,直線PO交AQ于E,直線QO交AP于D,直線OP與直線OQ的斜率分別為,,且, ,(為非零實數(shù)),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市教育部門為了了解全市高一學(xué)生的身高發(fā)育情況,從本市全體高一學(xué)生中隨機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖,并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中,身不低于1.69米的學(xué)生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示,用樣本的身高頻率估計該市高一學(xué)生的身高概率.
(I)求該市高一學(xué)生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.
(II)若從該市高一學(xué)生中隨機選取3名學(xué)生,記為身高在的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,則認為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程,
(1)若方程有兩個正根,求:m的取值范圍;
(2)若方程有兩個正根,且一個比2大,一個比2小,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生 450 人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含女生45人,求的值及抽取到的男生人數(shù);
(2)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
(3)在抽取的選擇“地理”的學(xué)生中按分層抽樣再抽取6名,再從這6名學(xué)生中抽取2人了解學(xué)生對“地理”的選課意向情況,求2人中至少有1名男生的概率.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2-(a-1)x-a<0,a∈R},集合B={x|<0}.
(1)當(dāng)a=3時,求A∩B;
(2)若A∪B=R,求實數(shù)a的取值范圍.
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