Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（sinθ，cosθ），θ∈（0，π）．
（1）若

a

∥

b

，求sinθ及cosθ；
（2）若

a

⊥

.

b

，求tan2θ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式建立關(guān)于θ的等式，化簡(jiǎn)可得cosθ=2sinθ，結(jié)合平方關(guān)系算出sin²θ=

1

5

，最后根據(jù)θ的取值范圍是（0，π）得sinθ=

5

5

，代入前面關(guān)系式可得cosθ=

2 5

5

．
（2）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式建立關(guān)于θ的等式，化簡(jiǎn)可得tanθ=-2，再由二倍角的正切公式加以計(jì)算，即可得到的tan2θ值．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2），

b

=（sinθ，cosθ），
∴當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，1×cosθ=2×sinθ，即cosθ=2sinθ
又∵cos²θ+sin²θ=1，
∴4sin²θ+sin²θ=1，可得sin²θ=

1

5

∵θ∈（0，π），∴sinθ=

5

5

，可得cosθ=

2 5

5

（2）∵

a

=（1，2），

b

=（sinθ，cosθ），
∴當(dāng)

a

⊥

b

時(shí)，1×sinθ+2×cosθ=0，可得sinθ=-2cosθ
因此，tanθ=

sinθ

cosθ

=-2
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

-4

1-4

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，求三角函數(shù)的值．著重考查了平面向量平行、垂直的坐標(biāo)表達(dá)式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．