Question

（2010•棗莊模擬）對(duì)于函數(shù)f(x)=cos(

π

2

+x)sin(

3π

2

+x)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f（x）的最小正周期為π；②若f（x₁）=-f（x₂）則x₁=-x₂；③f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

4

對(duì)稱(chēng)；④f(x)在[

π

4

，

3π

4

]上是減函數(shù)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

A．2

B．4

C．1

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)題意把函數(shù)解析式利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)為f（x）=

1

2

sin2x，①根據(jù)周期公式可得函數(shù)周期為π；②可以舉例判斷其實(shí)錯(cuò)誤的；③求出函數(shù)的所有對(duì)稱(chēng)軸可驗(yàn)證得③正確；④求出函數(shù)的所有單調(diào)減區(qū)間可得到④正確，進(jìn)而得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意得：函數(shù)f(x)=cos(

π

2

+x)sin(

3π

2

+x)=（-sinα）•（-cosα）=sinαcosα=

1

2

sin2α，
①根據(jù)周期公式可得：f（x）=

1

2

sin2x的周期為π．所以①正確；
②f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不滿(mǎn)足x₁=-x₂，所以②錯(cuò)誤；
③f（x）=

1

2

sin2x的所有對(duì)稱(chēng)軸為x=

kπ

2

+

π

4

，顯然③正確；
④f（x）=

1

2

sin2x的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，（k∈Z），顯然④正確，
則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活利用誘導(dǎo)公式二倍角公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，同時(shí)要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，對(duì)稱(chēng)性等）．