Question

【題目】如圖，直角梯形ABDC中，，，，，.

（1）若S是直角梯形ABDC所在平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由；

（2）直角梯形ABDC繞直線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體名稱是什么?并求出其體積.

Answer 1

【答案】(1)交線和理由見詳解；(2)所得幾何體為圓臺(tái)，體積為.

【解析】

（1）找到兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)公理，即可得到交線；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特點(diǎn)，即可知道幾何體的名稱，根據(jù)圓臺(tái)體積計(jì)算公式可算出體積.

（1）根據(jù)題意，平面SBD和平面SAC的交線為，具體如下圖所示：

延長(zhǎng)AC，延長(zhǎng)BD，取兩條直線的交點(diǎn)為M，連接SM，

則SM即為平面SBD和平面SAC的交線為

理由如下：

因?yàn)?/span>S點(diǎn)在平面SAC中，S點(diǎn)也在平面SBD中，

故S點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)；

又因?yàn)?/span>M點(diǎn)在直線AC上，直線AC在平面SAC中，

故M點(diǎn)在平面SAC中；

同理，因?yàn)?/span>M點(diǎn)在直線BD上，直線BD在平面SBD中，

故M點(diǎn)在平面SBD中；

則M點(diǎn)和S點(diǎn)均是平面SAC和平面SBD的公共點(diǎn)

故直線SM為兩個(gè)平面的交線.

（2）該旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái).

其中小圓的圓面積為

大圓的圓面積為

圓臺(tái)的高即為AC的長(zhǎng)度，故

則該圓臺(tái)的體積為

解得

故該幾何體為圓臺(tái)，且體積為.