Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，，E是C1D1的中點(diǎn)，F是CE的中點(diǎn)．

（1）求證：EA∥平面BDF；

（2）求證：平面BDF⊥平面BCE；

（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OF，因為OF是△ACE的中位線，則OF∥AE，由線面平行的判定定理得證；

（2）欲證平面BDF⊥平面BCE，找線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF平面BDF，從而得到結(jié)論；

（3）由（2）知DF⊥平面BCE，過F作FG⊥BE于G點(diǎn)，連接DG，則DG在平面BCE中的射影為FG，則∠DGF即為二面角D﹣EB﹣C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．

（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OF，可得OF是△ACE的中位線，OF∥AE，

又AE平面BDF，OF平面BDF，所以EA∥平面BDF；

（2）計算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中點(diǎn)，所以DF⊥CE

又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC，又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE

又DF平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE；

（3）由（2）知DF⊥平面BCE，過F作FG⊥BE于G點(diǎn)，連接DG，因為DF⊥BE，，所以平面，從而DG⊥BE，

所以∠DGF即為二面角D﹣EB﹣C的平面角，設(shè)其大小為θ，

計算得，，.