【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(I);(II)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)當時,,求得,得出函數(shù)的單調(diào)性,即可求解函數(shù)的極小值.
(Ⅱ)當,方程的,則方程有兩個不相等的實數(shù)根,記為,,得函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,求得函數(shù)的最小值,沒有零點;當時,函數(shù)僅有一個零點為;當時,得函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,求得,由此時函數(shù)有兩個零點,即可得到答案.
解:(Ⅰ)當時,
,令可得.
故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為
故當時,函數(shù)的最小值為.
(Ⅱ)由
∵,方程的,則方程有兩個不相等的實數(shù)根,記為,,
則,,有,故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,有
當時,,又函數(shù)單調(diào)遞減,
(1)當時,,此時,函數(shù)沒有零點;
(2)當時,函數(shù)僅有一個零點為;
(3)當時,有,
由,有
令,有,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,
由,可得不等式(當且僅當時取等號)成立
故有當時, ,
則此時函數(shù)有兩個零點.
由上知時,函數(shù)有一個零點;
當時,函數(shù)有兩個零點;
當時函數(shù)沒有零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列滿足:對于,都有(為常數(shù)),則稱數(shù)列是公差為的“隔項等差”數(shù)列.
(Ⅰ)若,是公差為8的“隔項等差”數(shù)列,求的前項之和;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足:,對于,都有.
①求證:數(shù)列為“隔項等差”數(shù)列,并求其通項公式;
②設(shè)數(shù)列的前項和為,試研究:是否存在實數(shù),使得成等比數(shù)列()?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的右焦點為,點在橢圓上,過原點的直線與橢圓相交于、兩點,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),,過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于、兩點,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某科室安排甲、乙、丙、丁四人國慶節(jié)放假期間(共放假八天)的值班表.已知甲、乙各值班四天,甲不能在第一天值班且甲、乙不在同一天值班;丙需要值班三天,且不能連續(xù)值班;丁需要值班五天;規(guī)定每天必須兩人值班.則符合條件的不同方案共有( )種.
A. 400 B. 700 C. 840 D. 960
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【題目】已知拋物線的焦點到直線的距離為.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)設(shè)點是拋物線上的動點,若以點為圓心的圓在軸上截得的弦長均為4,求證:圓恒過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】陜西理工大學開展大學生社會實踐活動,用“10分制”隨機調(diào)查漢臺區(qū)某社區(qū)居民的幸福指數(shù),現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16人,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福指數(shù)的得分以小數(shù)點的前一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉:
寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
若幸福指數(shù)不低于9分,則稱該人的幸福指數(shù)為“極幸!保蝗粜腋V笖(shù)不高于8分,則稱該人的幸福指數(shù)為“不夠幸!現(xiàn)從這16人中幸福指數(shù)為“極幸福”和“不夠幸!钡娜酥腥我膺x取2人,求選出的兩人的幸福指數(shù)均為“極幸福”的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:
記為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計值為.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;
(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).
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