Question

設(shè)、．

（1）若在上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）若對(duì)一切恒成立，求證：；

（3）若對(duì)一切，有，且的最大值為1，求、滿(mǎn)足的條件．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明見(jiàn)解析。

（3）且

【解析】（1）由題意，；

（2）須與同時(shí)成立，即，；

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052023410987509744/SYS201205202343286875886944_DA.files/image010.png">，依題意，對(duì)一切滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，有．

①當(dāng)有實(shí)根時(shí)，的實(shí)根在區(qū)間內(nèi)，設(shè)，所以，即，又，于是，的最大值為，即，從而．故，即，解得．

②當(dāng)無(wú)實(shí)根時(shí)，，由二次函數(shù)性質(zhì)知，在上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，所以，當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值．于是，存在最大值的充要條件是，即，所以，．又的最大值為，即，從而．由，得，即．所以、滿(mǎn)足的條件為且．綜上：且