Question

已知左焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn)．過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若為線段的中點(diǎn)，求；
（3）若，求證直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析，.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、直線的斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先利用左焦點(diǎn)坐標(biāo)得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用定義，求得，而，得，得出結(jié)論，橢圓為；（2）先將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓，兩者作差得，而代入得，利用韋達(dá)定理求，同理求，用坐標(biāo)求，用點(diǎn)和點(diǎn)斜式寫出直線方程，利用化簡，可分析過定點(diǎn).
試題解析：（1）由題意知設(shè)右焦點(diǎn)
       2分

橢圓方程為         4分
（2）設(shè) 則  ①  ②      6分
② ①，可得                       8分
（3）由題意，設(shè)
直線，即 代入橢圓方程并化簡得

                             10分
同理                         11分
當(dāng)時(shí)， 直線的斜率
直線的方程為
 又 化簡得 此時(shí)直線過定點(diǎn)（0，）   13分
當(dāng)時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)（0，）
綜上，直線過定點(diǎn).                                     14分