【題目】已知函數(shù),記在點(diǎn)處的切線為.
(1)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)的圖像(除切點(diǎn)外)均為切線的下方;
(2)當(dāng)時(shí),求的最小值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),考慮極值點(diǎn)以及函數(shù)的凹凸性,即可得證;
(2)討論a<0,a=0,a>1,a=1,0<a<1時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)﹣2lnx的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性,最值,即可得到所求g(x)的最小值.
(1)設(shè)切線方程為
記 .
,,,
,
在上單調(diào)遞減.
,,在上單調(diào)遞增,
,,在上單調(diào)遞減.
∴,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.
故命題成立
(2).
設(shè),,
1)當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,且.
∴,在上單調(diào)遞增.
∴
2)當(dāng)時(shí),,
設(shè),,有兩根,,
,,不妨令,
,,即,在上單調(diào)遞減,
,,即,在上單調(diào)遞增,
①當(dāng),即,,在上單調(diào)遞增.
,∴;
②當(dāng),即時(shí),,
,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
,
,
存在使得,
∴.
綜上可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】體育測(cè)試成績(jī)分為四個(gè)等級(jí):優(yōu)、良、中、不及格.某班50名學(xué)生參加測(cè)試結(jié)果如下:
等級(jí) | 優(yōu)(86~100分) | 良(75~85分) | 中(60~74分) | 不及格(1~59分) |
人數(shù) | 5 | 21 | 22 | 2 |
(1)估計(jì)該班學(xué)生體育測(cè)試的平均成績(jī);
(2)從該班任意抽取1名學(xué)生,求這名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”或“良”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)在上的最小值;
(2)求函數(shù)在上的最小值;
(3)求函數(shù)在上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查高一學(xué)生在分班選科時(shí)是否選擇物理科目與性別的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查100名高一學(xué)生,得到列聯(lián)表如下:由此得出的正確結(jié)論是( )
選擇物理 | 不選擇物理 | 總計(jì) | |
男 | 35 | 20 | 55 |
女 | 15 | 30 | 45 |
總計(jì) | 50 | 50 | 100 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為“選擇物理與性別有關(guān)”
B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為“選擇物理與性別無(wú)關(guān)”
C.有的把握認(rèn)為“選擇物理與性別有關(guān)”
D.有的把握認(rèn)為“選擇物理與性別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)設(shè),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)斜率為的直線與曲線交于、兩點(diǎn),
求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元,為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出x(x∈N*)名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為10(a﹣0.8x%)萬(wàn)元(a>0),剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高0.4x%.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?
(2)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)遣的年總利潤(rùn)條件下,若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則a的取值范圍是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】炎炎夏季,水蜜桃成為備受大家歡迎的一種水果,某果園的水蜜桃質(zhì)量分布如圖所示.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)以頻率估計(jì)概率,若從該果園中隨機(jī)采摘5個(gè)水蜜桃,記質(zhì)量在300克以上(含300克)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,該種水蜜桃在過(guò)去50天的銷(xiāo)售量(單位:千克)和價(jià)格(單位:元/千克)均為銷(xiāo)售時(shí)間t(天)的函數(shù),且銷(xiāo)售量近似地滿足f(t)=﹣3t+300(1≤t≤50,t∈N),前30天價(jià)格為g(t)=+20(1≤t≤30,t∈N),后20天價(jià)格為g(t)=30(31≤t≤50,t∈N),求日銷(xiāo)售額S的最大值.
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