已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中, P,Q是面對角線A1C1上的兩個不同動點(diǎn).

①存在P,Q兩點(diǎn),使BPDQ;

②存在P,Q兩點(diǎn),使BP,DQ與直線B1C都成450的角;

③若|PQ|=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值;

④若|PQ|=1,則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.

以上命題為真命題的個數(shù)是( )

A．1 B．2 　　　　C．3 D．4

 

【答案】

C

【解析】

試題分析：①存在P,Q兩點(diǎn),使BPDQ是正確的，因為當(dāng)P為,Q為時BPDQ；②存在P,Q兩點(diǎn),使BP,DQ與直線B1C都成450的角是錯誤的，因為BP與直線B1C所成的角最小角為；③若|PQ|=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值是正確的，設(shè)與的交點(diǎn)為，則平面，平面將四面體BDPQ分成兩個棱錐，高的和為，故體積不變；④若|PQ|=1, ,則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值是正確的，當(dāng)P,Q在面對角線A1C1上移動時，在各個面上的正投影的面積不變，故它的正投影的面積的和為定值．

考點(diǎn)：正方體的綜合問題．

 

練習(xí)冊系列答案
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已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，直線BD與平面A1BC1所成角的余弦值為
 
．

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已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)A1到平面DBEF的距離
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1
．

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（2011•朝陽區(qū)二模）已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1上的動點(diǎn)，且BE=D1F=λ(0＜λ≤
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2
)．設(shè)EF與AB所成的角為α，與BC所成的角為β，則α+β的最小值（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1．
（1）線段A1B上是否存在一點(diǎn)P，使得A1B⊥平面PAC？若存在，確定P點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由；
（2）點(diǎn)P在A1B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的長；
（3）Q點(diǎn)在對角線B1D，使得A1B∥平面QAC，求
B1QQD
．

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已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，O為底ABCD對角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面AB1D1； 
（Ⅱ）求A1到平面AB1D1的距離．

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