Question

已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圓C的參數(shù)方程

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）將圓的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅲ）求圓C上的點到直線的距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，利用和角的正弦函數(shù)，即可求得該直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的同角關(guān)系式中的平方關(guān)系，消去圓C的參數(shù)方程中的參數(shù)，即可得圓C的普通方程為：x²+（y+2）²=4，
（III）求出圓心C（0，-2）到直線x+y-1=0的距離，即可得到圓C上的點到直線的距離的最小值．

解答：解：（Ⅰ）極點為直角坐標原點O，ρsin(θ+

π

4

)=ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=

2

2

，
所以ρsinθ+ρcosθ=1，可化為直角坐標方程：x+y-1=0．…（3分）
（Ⅱ）將圓的參數(shù)方程化為普通方程：x²+（y+2）²=4．…（6分）
（Ⅲ）因為圓心為C（0，-2），
所以點C到直線的距離為d=

|0-2-1|

2

=

3

2

=

3 2

2

，
所以圓上的點到直線距離的最小值為

3 2 -4

2

．…（8分）

點評：本題考查極坐標方程與直角坐標方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點線距離公式的運用，屬于基礎(chǔ)題．