Question

已知圓，直線．
（Ⅰ）若與相切，求的值；
（Ⅱ）是否存在值，使得與相交于兩點，且（其中為坐標原點），若存在，求出，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2

試題分析：(Ⅰ)由圓方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，
圓心為C(－1，3)，半徑為 r = 3，         2分
若 l與C相切，則得=3，
∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m =．    5分
(Ⅱ)假設存在m滿足題意。
由，消去x得
(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0，
由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，   8分
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁+y₂=，y₁y₂=．
OA·OB=x₁x₂+y₁y₂
=(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂
=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂
=9－3m·+(m²+1)·
=25－=0         10分
24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，
∴m=9±2，適合m>，
∴存在m=9±2符合要求．
點評：直線與圓相切，一般用圓心到直線的距離等于圓的半徑，本題直線與圓相交聯(lián)立方程利用韋達定理可得到焦點坐標與方程的關系，進而可將向量坐標化化簡