【題目】已知函數(shù).

(1)當時,求證:;

(2)討論函數(shù)的零點的個數(shù)。

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)將代入函數(shù)的表達式,求出f′(x),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到最小值,即可證明;
(2)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到函數(shù)的極值,進而求出函數(shù)的零點的個數(shù).

(1)證明:當時,,則.

.得.

時,;當時,

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),

所以的極小值點,也是最小值點.且,

故當時.恒成立.

(2)解:據(jù)題意,得.

①當時,恒成立.則函數(shù)上是減函數(shù)。

,所以函數(shù)有且只有一個零點.

②當時.由,得.

時,

時,,

所以在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).

所以是函數(shù)的極小值點,也是最小值點,

.

,

時,;

時,;

時,,

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),

從而是函數(shù)的極大值點.也是最大值點,所以

(當且僅當時取等號)

,即時,函數(shù)只有一個零點

,即,且時,分兩種情況討論:

(i)當時,,因為,所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點;又,因此有兩個零點.

(ii)當時,

由(1),得.即,亦即.

.則得,即

所以,

所以在區(qū)間內(nèi)有一個等點.

,

因此函數(shù)有兩個零點.

由(i)和(ii),得當時,函數(shù)有兩個零點.

綜上,當時,函數(shù)只有一個零點;

.且時,函數(shù)有兩個零點。

練習冊系列答案
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AQI指數(shù)值

0~50

51~100

101~150

151~200

201~300

>300

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:

下列敘述錯誤的是

A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

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