Question

已知α-l-β是大小為45°的二面角，C為二面角內(nèi)一定點(diǎn)，且到半平面α和β的距離分別為

2

和6，A、B分別是半平面α，β內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A、6

  2

  +6
• B、5

  2

  +5
• C、15
• D、10

  2

Answer 1

分析：解答本題要進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，可以作出C關(guān)于兩個(gè)平面α，β對(duì)稱點(diǎn)，分別點(diǎn)M，N，連接M，N，則線段MN的長(zhǎng)度即為△ABC周長(zhǎng)的最小值此時(shí)線段MN與兩個(gè)平面的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B

解答：解：如圖，作出C關(guān)于兩個(gè)平面α，β對(duì)稱點(diǎn)，分別點(diǎn)M，N，連接M，N，線段MN與兩個(gè)平面的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B
則△ABC周長(zhǎng)L=AB+AC+BC=AB+AM+BN=MN，
由兩點(diǎn)之間線段最短可以得出MN即為△ABC周長(zhǎng)的最小值，下求此最小值即MN的長(zhǎng)度，在△CMN中求解
由已知C為二面角內(nèi)一定點(diǎn)，且到半平面α和β的距離分別為

2

和6，不妨令CA=

2

和CB=6
可得出CM=2

2

，CN=12
又α-l-β是大小為45⁰的二面角，線段CM與線段CN與兩個(gè)平面的交點(diǎn)即點(diǎn)C在兩個(gè)平面上的垂足分別為Q，P，過點(diǎn)P作PO垂直兩平面的交線于O，連接QO，則角POQ=45°，故可得角MCN=135°
故MN²=CM²+CN²-2×CN×CM×cos135°=8+144+48=200
故MN=10

2

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查根據(jù)題目中所給的條件進(jìn)行圖形推理的能力，先利用位置關(guān)系作出所求的量，再根據(jù)圖形中相關(guān)的位置關(guān)系求出線段的長(zhǎng)度，是立體幾何中常見的思路，先作圖，證明，求值．