Question

【題目】已知拋物線C; y2 =2x的焦點為F，準(zhǔn)線為l， P為拋物線C上異于頂點的動點.

（1）過點P作準(zhǔn)線1的垂線，垂足為H，若△PHF與△POF的面積之比為2：1，求點P的坐標(biāo)；

（2）過點M(，0)任作一條直線 m與拋物線C交于不同的兩點A， B.若兩直線PA， PB 斜率之和為2，求點P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線，設(shè)，，由三角形的面積公式可得，解方程可得，進(jìn)而可得的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立拋物線的方程，消去，可得的二次方程，設(shè)，，，，運用韋達(dá)定理和判別式大于0，再由直線的斜率公式，化簡整理可得，的方程，由恒成立思想可得，進(jìn)而得到所求的坐標(biāo)，

解：（1）拋物線的焦點為，，準(zhǔn)線為，

設(shè)，，由，可得，

由，與的面積之比為，可得，

即為，解得，則的坐標(biāo)為，；

（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立拋物線方程可得，

由△，即，，設(shè)，，，，

可得，，

則，

化為，

即，可得對滿足條件的恒成立，

可得，則的坐標(biāo)為，．