Question

（本小題滿(mǎn)分13分）
某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（Ⅱ）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大�。�，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由。

Answer 1

本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，綠茶推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、英語(yǔ)意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想。滿(mǎn)分13分。




解法一：
（I）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則

=
=
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
即，小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。
（II）設(shè)小艇與輪船在B出相遇，則

故
，
即，解得
又時(shí)，
故時(shí)，t取最小值，且最小值等于
此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)寒星方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇
解法二：
（I）若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎�北方向�?br />設(shè)小艇與輪船在C處相遇。
在中，，
又， 
此時(shí)，輪船航行時(shí)間，
即，小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。
（II）猜想時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在D出相遇，此時(shí)
又，所以，解得
據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇
證明如下：
如圖，由（I）得，，
故，且對(duì)于線段上任意點(diǎn)P,
有 而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，
故小艇與輪船不可能在A，C之間（包含C）的任意位置相遇。
設(shè)，則在中，，
由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為
和
所以，
由此可得，
又，故
從而，
由于時(shí)，取得最小值，且最小值為
于是，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為
解法三：
（I）同解法一或解法二
（II）設(shè)小艇與輪船在B處相遇。依據(jù)題意得：
，
（
（1）                 若，則由

=
得

解析