分析:(1)連結A
1D,由正方形的性質得AD
1⊥DA
1,結合AD
1⊥A
1C證出AD
1⊥平面A
1CD,從而AD
1⊥CD.再由直棱柱的性質得DD
1⊥CD,利用線面垂直的判定定理得CD⊥平面AA
1D
1D,從而證出CD⊥AD;
(2)算出△CD
1B
1中各邊長,從而得到△CD
1B
1為直角三角形,得到△CD
1B
1的面積,根據三棱錐C-C
1D
1B
1的體積等于三棱錐C
1-CD
1B
1的體積,建立等式即可解出點C
1到平面CD
1B
1的距離為h.
(3)取CE的中點F,連結D
1F,由(2)的結論得△D
1CE是正三角形,可得D
1F⊥CE,結合CE∥A
1D得A
1B
1⊥CE.取CB
1的中點G,連結FG則CE⊥FG,得∠D
1FG是二面角D
1-CE-B
1的平面角.然后在△D
1FG中,根據D
1F、FG的長,算出D
1G長.最后在△D
1FG中,由余弦定理算出
cos∠D1FG=-,即可得到二面角D
1-CE-B
1的大。
解答:解:(1)連結A
1D,
∵四邊形A
1D
1DA是正方形,∴AD
1⊥DA
1,
又∵AD
1⊥A
1C,
DA
1、A
1C是平面A
1CD內的相交直線,
∴AD
1⊥平面A
1CD,
∵CD?平面A
1CD,∴AD
1⊥CD,
又∵DD
1⊥CD,DD
1、AD
1是平面AA
1D
1D內的相交直線,
∴CD⊥平面AA
1D
1D,
∵AD?平面AA
1D
1D,∴CD⊥AD…(5分)
(2)用等體積法:
設點C
1到平面CD
1B
1的距離為h,
在△CD
1B
1中,
CD1=,D1B1=,CB1=,
∴△CD
1B
1為直角三角形,
由
VC-C1D1B1=VC1-CD1B1,得
×1××1×sin135°=××××h,
解之得
h=,
∴點C
1到平面CD
1B
1的距離為
.
(3)由(2)得
D1E=D1C=CE=A1D=,
取線段CE的中點F,連結D
1F,則D
1F⊥CE,
∵CE∥A
1D,∴A
1B
1⊥CE,
再取線段CB
1的中點G,連結FG
∴FG∥EB
1,可得CE⊥FG,得∠D
1FG是二面角D
1-CE-B
1的平面角,
在△D
1FG中,
D1F=,
FG=,取線段B
1C
1的中點L,連結GL,
則
D1G2=GL2+D1L2,
在△D
1C
1L中,
D1L2=1+-2•1•cos135°=,
∴
D1G2=+=,
△D
1FG中,由余弦定理,得
cos∠D1FG==-,
∴二面角D
1-CE-B
1的大小為
arccos(-).…(14分)
點評:本題在直四棱柱中證明線面垂直,求二面角的大小并求點到平面的距離.著重考查了直四棱柱的性質、線面垂直的判定與性質、等體積法求點面距離和二面角的平面角的定義與求法等知識,屬于中檔題.