Question

（2013•樂山二模）已知f(x)=-

4+ 1 x2

，點Pn(an，-

1

an+1

)在曲線y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

a 2 n

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{

a

2 n

•

a

2 n+1

}的前n項和為S_n，若對于任意的n∈N^*，存在正整數(shù)t，使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，求最小正整數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f(x)=-

4+ 1 x2

，點Pn(an，-

1

an+1

)在曲線y=f（x）上，可得-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

，即

1

an+12

-

1

an2

=4，故可得{

1

a 2 n

}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 對通項裂項，再進行求和，從而對于任意的n∈N^*使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，所以只要

1

4

≤t2-t-

1

2

，由此可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：∵f(x)=-

4+ 1 x2

，點Pn(an，-

1

an+1

)在曲線y=f（x）上
∴-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

∴

1

an+12

-

1

an2

=4
所以{

1

a 2 n

}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列． 
∴

1

an2

=4n-3
∵a_n＞0，∴a_n=

1 4n-3

（Ⅱ）解：bn=

a

2 n

•

a

2 n+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

對于任意的n∈N^*使得Sn＜t2-t-

1

2

恒成立，所以只要

1

4

≤t2-t-

1

2

∴t≥

3

2

或t≤-

1

2

，所以存在最小的正整數(shù)t=2符合題意

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項公式，考查裂項法求數(shù)列的和，考查恒成立問題，選擇正確的方法是關鍵．