Question

已知圓的方程為，過點作直線與圓交于、兩點。

(1)若坐標原點O到直線AB的距離為，求直線AB的方程；
(2)當△的面積最大時，求直線AB的斜率；
(3)如圖所示過點作兩條直線與圓O分別交于R、S,若，且兩角均為正角，試問直線RS的斜率是否為定值，并說明理由。

Answer 1

（1）直線AB的方程為；
(2) 時△面積最大,此時直線AB的斜率為 ；
（3）直線RS的斜率為定值。

試題分析：（1）設(shè)過點的直線方程為，∵原點到直線AB的距離為，∴則，∴直線AB的方程為   4′
(2)直線AB的方程：代入圓的方程得
由韋達定理得,
∵   7′
∴當時,即時△面積最大,此時直線AB的斜率為   10′
（3）設(shè)點，將直線RS的方程，代入圓的方程得


由韋達定理得①
，則
即(*)，
又∵②
則①②代入(*)式整理得，即，當時，
直線RS過定點不成立，故直線RS的斜率為定值       16′
（注：若用其他正確的方法請酌情給分）
點評：中檔題，研究直線與圓的位置關(guān)系，半徑、弦長一半、圓心到直線的距離所構(gòu)成的“特征三角形”是重點，另外，通過構(gòu)建方程組，得到一元二次方程后，應(yīng)用韋達定理，實現(xiàn)整體代換較為普遍。本題考查知識覆蓋面廣，對考生計算能力、數(shù)形結(jié)合思想有較好考查。