【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對于任意的,都有且當(dāng)時(shí),,若.
(1)求證:為奇函數(shù);
(2)求證: 是上的減函數(shù);
(3)求函數(shù)在區(qū)間[-2,4]上的值域.
【答案】(1)見解析,(2)見解析,(3) [-8,4]
【解析】
(1)先利用特殊值法,求證f(0)=0,令y=﹣x即可求證;
(2)由(1)得f(x)為奇函數(shù),f(﹣x)=﹣f(x),利用定義法進(jìn)行證明;
(3)由函數(shù)為減函數(shù),求出f(﹣2)和f(4)繼而求出函數(shù)的值域,
(1)∵f(x)的定義域?yàn)?/span>R,令x=y=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=﹣x,則f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),
即f(0)=f(x)+f(﹣x)=0.
∴f(﹣x)=﹣f(x),故f(x)為奇函數(shù).
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
則f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1).
又∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)<0,
∴f(x2)﹣f(x1)<0,
即f(x1)>f(x2).
故f(x)是R上的減函數(shù).
(3)∵f(﹣1)=2,∴f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)=4.
又f(x)為奇函數(shù),∴f(2)=﹣f(﹣2)=﹣4,
∴f(4)=f(2)+f(2)=﹣8.
由(2)知f(x)是R上的減函數(shù),
所以當(dāng)x=﹣2時(shí),f(x)取得最大值,最大值為f(﹣2)=4;
當(dāng)x=4時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(4)=﹣8.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,4]上的值域?yàn)?/span>[﹣8,4].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按照答對題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;
(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)為,離心率為,已知過軸上一點(diǎn)作一條直線:,交橢圓于兩點(diǎn),且的周長最大值為8.
(1)求橢圓方程;
(2)以點(diǎn)為圓心,半徑為的圓的方程為.過的中點(diǎn)作圓的切線,為切點(diǎn),連接,證明:當(dāng)取最大值時(shí),點(diǎn)在短軸上(不包括短軸端點(diǎn)及原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】供電部門對某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后,按人均用電量分為, , , , 五組,整理得到如下的頻率分布直方圖,則下列說法錯誤的是
A. 月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人
B. 月份人均用電量不低于度的有人
C. 月份人均用電量為度
D. 在這位居民中任選位協(xié)助收費(fèi),選到的居民用電量在一組的概率為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)成績的影響,詢問了 30 名同學(xué),得到如下的 列聯(lián)表:
使用智能手機(jī) | 不使用智能手機(jī) | 總計(jì) | |
學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀 | 4 | 8 | 12 |
學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀 | 16 | 2 | 18 |
總計(jì) | 20 | 10 | 30 |
(Ⅰ)根據(jù)以上列聯(lián)表判斷,能否在犯錯誤的概率不超過 0.005 的前提下認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)成績有影響?
(Ⅱ)從使用學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的 12 名同學(xué)中,隨機(jī)抽取 2 名同學(xué),求抽到不使用智能手機(jī)的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.智能手機(jī)的 20 名同學(xué)中,按分層抽樣的方法選出 5 名同學(xué),求所抽取的 5 名同學(xué)中“學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀”和“學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀”的人數(shù);
(Ⅲ)從問題(Ⅱ)中倍抽取的 5 名同學(xué),再隨機(jī)抽取 3 名同學(xué),試求抽取 3 名同學(xué)中恰有 2 名同學(xué)為“學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀”的概率.
參考公式:,其中
參考數(shù)據(jù):
0.05 | 0,。025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了200名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分第一~五組區(qū)間分別為,,,,,).
(1)求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談,再從中選取2人在座談會中作重點(diǎn)發(fā)言,求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的焦點(diǎn)為,拋物線上兩點(diǎn),在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為.
(1)如圖,若點(diǎn)在線段上,過作的平行線與拋物線準(zhǔn)線交于,證明:是的中點(diǎn);
(2)如圖,若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.
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