已知數(shù)列{bn}中,b1=
11
7
,bn+1bn=bn+2.數(shù)列{an}滿足:an=
1
bn-2
(n∈N*)

(Ⅰ)求證:an+1+2an+1=0;
(Ⅱ) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ) 求證:(-1)b1+(-1)2b2+…+(-1)nbn<1(n∈N*
分析:(Ⅰ) 由已知,得出an+1=
1
bn+1-2
=
1
bn+2
bn
-2
=
bn
2-bn
= -1+
2
2-bn
=-2an-1
,移向整理即可.
(Ⅱ)在(Ⅰ) 的基礎上,構(gòu)造出an+1+
1
3
=-2  (an+
1
3
)
,通過求出{an+
1
3
}
的通項公式,得出{an}的通項公式.
(Ⅲ)由上應得出(-1)nbn=2•(-1)n+
1
2n-
1
3
(-1)n
,考慮到(-1)n的取值,宜相鄰兩項結(jié)合,借助放縮法尋求解決.
解答:證明:(Ⅰ)an+1=
1
bn+1-2
=
1
bn+2
bn
-2
=
bn
2-bn
= -1+
2
2-bn
=-2an-1
,移向整理得an+1+2an+1=0
解:(Ⅱ)∵an+1=-2an-1∴an+1+
1
3
=-2  (an+
1
3
)

又 a1+
1
3
=-2 ≠0
{an+
1
3
}
為等比數(shù)列
an+
1
3
=(-2)n
an=(-2)n-
1
3

證明:(Ⅲ)bn=
1
an
+2=
1
(-2)n-
1
3
+2
(-1)nbn=2•(-1)n+
1
2n-
1
3
(-1)n

①當n為奇數(shù)時(-1)nbn+(-1)n+1bn+1=
1
2n+
1
3
+
1
2n+1-
1
3
=
2n+2n+1
(2n+
1
3
)(2n+1-
1
3
)
2n+2n+1
2n2n+1
=
1
2n
+
1
2n+1

(-1)b1+(-1)2b2+…+(-1)nbn
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-2
+
1
2n-1
-2+
1
2n+
1
3
1
2
1-
1
2
-2+
1
2n+
1
3
=
1
2n+
1
3
-1<1

 ②當n為偶數(shù)時,(-1)b1+(-1)2b2+…+(-1)nbn
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
+
1
2n
1
2
1-
1
2
=1

綜上所述,(-1)b1+(-1)2b2+…+(-1)nbn<1
點評:本題是數(shù)列與不等式的綜合.考查數(shù)列的遞推關(guān)系,通項公式、不等式的證明.考查變形、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計算的能力.
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2
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,數(shù)列{an}滿足:an=
1
bn-2
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