分析:(1)根據(jù)
b1=,求得
a1=-,從而
b2=a2=;
(2)將
bn+1=1+代入得到:
an+1====-2an-1即可證得:a
n+1+2a
n+1=0;
(3)由(2)所得結(jié)論變形得到:
an+1+=-2 (an+)從而得出數(shù)列
{an+}是以-2為首項,公比為-2的等比數(shù)列,最后利用等比數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列{a
n}的通項公式;
(4)由(3)得出數(shù)列{a
n}的通項公式寫出數(shù)列bn,下面對n進行奇偶數(shù)討論:①當n為偶數(shù)時②當n為奇數(shù)時,分別利用等比數(shù)列的前n項結(jié)合不等式的放縮即可得到證明.
解答:解:(1)∵
b1=∴
a1=-∴
b2=a2=…(3分)
(2)證明:∵
an+1====-2an-1∴a
n+1+2a
n+1=0…(5分)
(3)∵a
n+1=-2a
n-1∴
an+1+=-2 (an+)…(6分)
又
a1+=-2 ≠0∴數(shù)列
{an+}是以-2為首項,公比為-2的等比數(shù)列…(7分)
∴
an+=(-2)n∴
an=(-2)n-…(8分)
(4)
bn=+2=+2∴
(-1)nbn=2•(-1)n+當n為奇數(shù)時(-1)
nb
n+(-1)
n+1b
n+1=
+=
<=+,
①當n為偶數(shù)時,(-1)b
1+(-1)
2b
2+…+(-1)
nb
n<++…++<=1,
②當n為奇數(shù)時,(-1)b
1+(-1)
2b
2+…+(-1)
nb
n<++…++-2+<-2+=
-1<1…(11分)
綜上所述:(-1)b
1+(-1)
2b
2+…+(-1)
nb
n<1…(12分)
點評:本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.