Question

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=-

2

5

，從而得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可；
（2）利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）利用f（x）為奇函數(shù)，將不等式f（t-1）+f（t）＜0轉(zhuǎn)化為f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)得到關(guān)于t的不等式 組，解之即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

a 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

∴f(-

1

2

)=

- a 2 +b

1+(- 1 2 )2

=-f(

1

2

)=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f(x)=

x

1+x2

（2）證明：在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（1+x₁²）＞0，（1+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)
∴

t＜1-t -1＜t＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故關(guān)于t的不等式的解集為(0，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應(yīng)用，著重考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．