Question

【題目】已知圓和圓．

（1）判斷圓和圓的位置關(guān)系；

（2）過(guò)圓的圓心作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；

（3）過(guò)圓的圓心作動(dòng)直線(xiàn)交圓于A，B兩點(diǎn)．試問(wèn)：在以AB為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）外離；

（2）或；

（3）存在圓：或，使得圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) 。

【解析】

試題分析：（1）求出兩圓的圓心距，在比較其與 的大小關(guān)系，從而確定兩圓的位置關(guān)系；（2）由點(diǎn)

斜式設(shè)出切線(xiàn)方程，然后用點(diǎn)線(xiàn)距離公式建立關(guān)于的方程；（2）斜率不存在時(shí)，易知圓也是滿(mǎn)足題意的圓；斜率存在時(shí)，假設(shè)存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以，則可得，再把直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立可求，，代入上式可得關(guān)于的方程。

(1)因?yàn)閳A的圓心，半徑，圓的圓心，徑，

所以圓和圓的圓心距，

所以圓與圓外離. 3分

（2）設(shè)切線(xiàn)的方程為：，即，

所以到的距離，解得.

所以切線(xiàn)的方程為或. ....7分

(3)ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，此時(shí)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為，，即為圓的直徑，而點(diǎn)在圓上，即圓也是滿(mǎn)足題意的圓．.......8分

ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，由，

消去整理，得，

由△，得或．

設(shè)，則有 ① 9分

由①得， ②

， ③

若存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以，

因此，即， 10分

則，所以，，滿(mǎn)足題意．

此時(shí)以為直徑的圓的方程為，

即，亦即． 12分

綜上，在以AB為直徑的所有圓中，存在圓：或

，使得圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)． 14分