Question

三棱臺(tái)是一種重要的多面體，對(duì)于圖中A₁B₁C₁－ABC，請(qǐng)思考如下問題：

(1)三條側(cè)棱所在的直線一定相交于一點(diǎn)嗎？

(2)棱臺(tái)的側(cè)面是什么樣的特殊四邊形？

(3)兩底面△A₁B₁C₁與△ABC是否具有相似的關(guān)系？

若A₁B₁∶AB＝2∶3，求．

任意一個(gè)棱臺(tái)的上下底面多邊形都是相似多邊形嗎？(注：這里的兩個(gè)多邊形相似是指它們的對(duì)應(yīng)邊分別成比例，對(duì)應(yīng)角分別相等)

(4)若A₁B₁＝AB，則此時(shí)的三棱臺(tái)A₁B₁C₁－ABC可演變成什么樣的幾何體？

若A₁、B₁、C₁三點(diǎn)收縮為一點(diǎn)(記為P)，則此時(shí)的三棱臺(tái)A₁B₁C₁－ABC即P－ABC又演變成了什么樣的幾何體？

(5)如果幾何體A₁B₁C₁－ABC滿足△A₁B₁C₁與△ABC相似但不全等，那么這個(gè)幾何體一定是三棱臺(tái)嗎？

Answer 1

答案：
解析：

由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，我們可以知道它們之間有如下關(guān)系： 　　又根據(jù)定義，棱臺(tái)與棱錐有很密切的關(guān)系，在思考棱臺(tái)的性質(zhì)時(shí)常常要考慮這一關(guān)系．下面我們對(duì)以上問題做如下思考： 　　(1)根據(jù)定義，棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，截面和底面之間的部分．所以我們可將三條棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)得到一個(gè)三棱錐，從而三條側(cè)棱所在的直線相交于一點(diǎn)． 　　(2)也是根據(jù)定義，棱臺(tái)的側(cè)面應(yīng)該是三角形被平行于底邊的直線所截后，截線和底線之間的部分，這是一個(gè)梯形． 　　(3)由于三棱臺(tái)兩底面對(duì)應(yīng)邊互相平行，容易得到它們的對(duì)應(yīng)角相等，所以上下底面是相似的多邊形．由相似多邊形的知識(shí)可知棱臺(tái)上下底面面積比等于相似比的平方，即＝4∶9． 　　(4)當(dāng)A1B1＝AB，上下底面是全等多邊形時(shí)，棱臺(tái)變化成棱柱；當(dāng)棱臺(tái)的一個(gè)底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，棱臺(tái)變?yōu)槔忮F． 　　(5)我們考慮將三棱柱的上底面旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后的情況，此時(shí)仍滿足上下底面相似但不全等，但形成的圖形可能已經(jīng)不是一個(gè)三棱柱了．我們有結(jié)論：當(dāng)不全等的兩相似三角形位置擺法不“正”時(shí)，不是三棱臺(tái)．