Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+1）x+1．
（1）若不等式f（x）＜mx的解集為{x|1＜x＜2}，求實(shí)數(shù)a、m的值；
（2）解不等式f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，

∴不等式f（x）＜mx等價(jià)于ax2﹣（a+m+1）x+1＜0，

依題意知不等式ax2﹣（a+m+1）x+1＜0的解集為{x|1＜x＜2}，

∴a＞0且1和2為方程ax2﹣（a+m+1）x+1=0的兩根，

∴ ，

解得 ，

∴實(shí)數(shù)a、m的值分別為a=1、m=0

（2）解：不等式f（x）＜0可化為（ax﹣1）（x﹣1）＜0，

（�。┊�(dāng)a=0時(shí)，不等式f（x）＜0等價(jià)于﹣x+1＜0，解得x＞1，

故原不等式的解集為{x|x＞1}，

（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＜0等價(jià)于 ，

①當(dāng)0＜a＜1時(shí) ，不等式 的解集為 ，

即原不等式的解集為 ，

②當(dāng)a=1時(shí)，不等式 的解集為φ，

即原不等式的解集為φ，

③當(dāng)a＞1時(shí) ，不等式 的解集為 ，

即原不等式的解集為 ，

（ⅲ）當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f（x）＜0等價(jià)于 ，

∵a＜0，

∴ ，

∴不等式 的解集為{x|x＜ 或x＞1}，

即原不等式的解集為{x|x＜ 或x＞1}，

綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)不等式f（x）＜0的解集為 ，

當(dāng)a=1時(shí)不等式f（x）＜0的解集為φ，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)不等式f（x）＜0的解集為 ，

當(dāng)a=0時(shí)不等式f（x）＜0的解集為{x|x＞1}，

當(dāng)a＜0時(shí)不等式f（x）＜0的解集為為{x|x＜ 或x＞1}

【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)a、m的值；（2）不等式化為（ax﹣1）（x﹣1）＜0，討論a=0和a＞0、a＜0時(shí)，求出不等式f（x）＜0的解集即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，以及對(duì)解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊．