Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為

2

、離心率為

2

2

，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且

AP

=3

PB

．
（I）求橢圓方程；
（II）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設橢圓的標準方程，根據(jù)短軸長為

2

、離心率為

2

2

可求出a，b，c的值，從而得到答案．
（2）先設l與橢圓C交點為A、B的坐標，然后聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關于x的一元二次方程，進而得到兩根之和、兩根之積，再表示出

AP

=3

PB

再將兩根之和、兩根之積代入可得(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，整理可得k2=

2-2m2

4m2-1

＞0解出m的范圍．

解答：解：（I）設C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），設c＞0，c²=a²-b²，
由條件知2b=

2

，

c

a

=

2

2

，
∴a=1，b=c=

2

2

故C的方程為：y2+

x2

1 2

=1
（II）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

∵

AP

=3

PB

∴-x₁=3x₂
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0
m²=

1

4

時，上式不成立；m²≠

1

4

時，k2=

2-2m2

4m2-1

，
由（*）式得k²＞2m²-2
因k≠0∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
即所求m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、基本性質和直線與橢圓的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點題目，要強化學習．