Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e=

2

2

，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且

AP

=λ

PB

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由c＞0，c²=a²-b²，且a-c=1-

2

2

，e=

c

a

=

2

2

，可得a=1，b=c=

2

2

；則橢圓C的方程可求．
（2）由

AP

=λ

PB

，得

OP

-

OA

=λ（

OB

-

OP

），即（1+λ）

OP

=

OA

+λ

OB

，∴1+λ=4，得λ的值；設l與橢圓的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

2x2+y2=1 y=kx+m

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，∴△＞0，且x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

；由

AP

=3

PB

，得-x₁=3x₂，∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，即3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，即4k²m²+2m²-k²-2=0，所以m²=

1

4

時，上式不成立；m²≠

1

4

時，k²=

2-2m2

4m2-1

，由λ的值，知斜率k≠0，得k²＞0，從而得m的取值范圍．

解答：解：如圖所示，
（1）設橢圓C的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），且c＞0，c²=a²-b²；
由題意a-c=1-

2

2

，

c

a

=

2

2

，∴a=1，b=c=

2

2

；∴C的方程為y²+2x²=1；
（2）由

AP

=λ

PB

，得

OP

-

OA

=λ（

OB

-

OP

），∴（1+λ）

OP

=

OA

+λ

OB

，∴1+λ=4，即λ=3；
設l與橢圓的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

2x2+y2=1 y=kx+m

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，∴x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

；
由

AP

=3

PB

，得-x₁=3x₂，∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，整理得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，整理得4k²m²+2m²-k²-2=0①，
當m²=

1

4

時，①式不成立；m²≠

1

4

時，有k²=

2-2m2

4m2-1

，由λ=3，知k≠0，
∴k²=

2-2m2

4m2-1

＞0，∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1，符合△＞0，
∴m∈（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

點評：本題以平面向量為工具，考查了直線與橢圓方程的綜合應用，以及根與系數(shù)的關(guān)系式在圓錐曲線中的應用問題．