【題目】若無窮數(shù)列{an}滿足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1 , 則稱{an}具有性質(zhì)P.
(1)若{an}具有性質(zhì)P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;
(2)若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b1=c5=1;b5=c1=81,an=bn+cn , 判斷{an}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(3)設{bn}是無窮數(shù)列,已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求證:“對任意a1 , {an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.
【答案】
(1)
解:∵a2=a5=2,∴a3=a6,
a4=a7=3,∴a5=a8=2,a6=21﹣a7﹣a8=16,∴a3=16
(2)
解:設無窮數(shù)列{bn}的公差為:d,無窮數(shù)列{cn}的公比為q,則q>0,
b5﹣b1=4d=80,
∴d=20,∴bn=20n﹣19, =q4= ,∴q= ,∴cn=
∴an=bn+cn=20n﹣19+ .
∵a1=a5=82,
而a2=21+27=48,a6=101 = .a(chǎn)1=a5,但是a2≠a6,{an}不具有性質(zhì)P
(3)
解:充分性:若{bn}是常數(shù)列,
設bn=C,則an+1=C+sinan,
若存在p,q使得ap=aq,則ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1,
故{an}具有性質(zhì)P.
必要性:若對于任意a1,{an}具有性質(zhì)P,
則a2=b1+sina1,
設函數(shù)f(x)=x﹣b1,g(x)=sinx,
由f(x),g(x)圖象可得,對于任意的b1,二者圖象必有一個交點,
∴一定能找到一個a1,使得a1﹣b1=sina1,
∴a2=b1+sina1=a1,∴an=an+1,
故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn,
∴{bn}是常數(shù)列.
【解析】(1)利用已知條件通過a2=a5=2,推出a3=a6 , a4=a7 , 轉(zhuǎn)化求解a3即可.
(2)設無窮數(shù)列{bn}的公差為:d,無窮數(shù)列{cn}的公比為q,則q>0,利用條件求出,d與q,求出bn , cn得到an的表達式,推出a2≠a6 , 說明{an}不具有性質(zhì)P.
(3)充分性:若{bn}是常數(shù)列,設bn=C,通過an+1=C+sinan , 證明ap+1=aq+1 , 得到{an}具有性質(zhì)P.
必要性:若對于任意a1 , {an}具有性質(zhì)P,得到a2=b1+sina1 , 設函數(shù)f(x)=x﹣b1 , g(x)=sinx,說明bn+1=bn , 即可說明{bn}是常數(shù)列.
本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用,充要條件的應用,考查分析問題解決問題的能力,邏輯思維能力,難度比較大.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心,環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實現(xiàn)全面建成小康社會奮斗目標的短板和瓶頸。綿陽某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時刻(時)的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù),且
(1)若,求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低;
(2)規(guī)定每天中的最大值作為當天的污水污染指數(shù),要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過,則調(diào)節(jié)參數(shù)應控制在什么范圍內(nèi)?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)若f(2)=a,求a的值;
(2)當a=2時,若對任意互不相等的實數(shù)x1,x2∈(m,m+4),都有>0成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-x-2a(<a<0)在R上的零點的個數(shù),并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點,若其歐拉線方程為,則頂點C的坐標是()
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】雙曲線x2﹣ =1(b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點.
(1)直線l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設b= ,若l的斜率存在,且( ) =0,求l的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a,若函數(shù)f(x)在區(qū)間上無零點,求實數(shù)a的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓M:x2+y2+ay=0(a>0),直線l:x-7y-2=0,且直線l與圓M相交于不同的兩點A,B.
(1)若a=4,求弦AB的長;
(2)設直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,若k1+k2=,求圓M的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請在圖中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
試根據(jù)求出的線性回歸方程,預測記憶力為9的同學的判斷力.
相關(guān)公式:.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com