【題目】已知橢圓C:的離心率為,左、右頂點分別為A,B,點M是橢圓C上異于A,B的一點,直線AM與y軸交于點P.
(Ⅰ)若點P在橢圓C的內(nèi)部,求直線AM的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設橢圓C的右焦點為F,點Q在y軸上,且∠PFQ=90°,求證:AQ∥BM.
【答案】(Ⅰ)(-,0)(0,)(Ⅱ)詳見解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意可得得c2=a2﹣2,由e,解得即可出橢圓的方程,再根據(jù)點在其內(nèi)部,即可線AM的斜率的取值范圍,
(Ⅱ)題意F(,0),設Q(0,y1),M(x0,y0),其中x0≠±2,則1,可得直線AM的方程y(x+2),求出點Q的坐標,根據(jù)向量的數(shù)量積和斜率公式,即可求出kBM﹣kAQ=0,問題得以證明
解:(Ⅰ)由題意可得c2=a2-2,
∵e==,
∴a=2,c=,
∴橢圓的方程為+=1,
設P(0,m),由點P在橢圓C的內(nèi)部,得-<m<,
又∵A(-2,0),
∴直線AM的斜率kAM==∈(-,),
又M為橢圓C上異于A,B的一點,
∴kAM∈(-,0),(0,),
(Ⅱ)由題意F(,0),設Q(0,y1),M(x0,y0),其中x0≠±2,
則+=1,
直線AM的方程為y=(x+2),
令x=0,得點P的坐標為(0,),
由∠PFQ=90°,可得=0,
∴(-,)(-,y1)=0,
即2+y1=0,
解得y1=-,
∴Q(0,-),
∵kBM=,kAQ=-,
∴kBM-kAQ=+=0,
故kBM=kAQ,即AQ∥BM
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【題目】設有編號為1,2,3,4,5的五把鎖和對應的五把鑰匙.現(xiàn)給這5把鑰匙也貼上編號為1,2,3,4,5的五個標簽,則共有______種不同的貼標簽的方法:若想使這5把鑰匙中至少有2把能打開貼有相同標簽的鎖,則有______種不同的貼標簽的方法.(本題兩個空均用數(shù)字作答)
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【題目】在四棱錐 P - ABCD 中,銳角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB,AB⊥AD,AB⊥BC。
(1) 求證:BC∥平面 PAD;
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是函數(shù)的極值點,求函數(shù)在上的最大值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù),使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有個交點?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】某市圖書館準備進一定量的書籍,由于不同年齡段對圖書的種類需求不同,為了合理配備資源,現(xiàn)對該市看書人員隨機抽取了一天60名讀書者進行調(diào)查.將他們的年齡分成6段:,后得到如圖所示的頻率分布直方圖,問:
(1)在60名讀書者中年齡分布在的人數(shù);
(2)估計60名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù).
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過,.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程和離心率;
(Ⅱ)四邊形的四個頂點都在橢圓上,且對角線,過原點,若,求證:四邊形的面積為定值,并求出此定值.
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成, 的公共點為,其中的離心率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)過點的直線與分別交于(均異于點),若,求直線的方程.
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【題目】2018年,南昌市召開了全球VR產(chǎn)業(yè)大會,為了增強對青少年VR知識的普及,某中學舉行了一次普及VR知識講座,并從參加講座的男生中隨機抽取了50人,女生中隨機抽取了70人參加VR知識測試,成績分成優(yōu)秀和非優(yōu)秀兩類,統(tǒng)計兩類成績?nèi)藬?shù)得到如下的列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 | |
男生 | a | 35 | 50 |
女生 | 30 | d | 70 |
總計 | 45 | 75 | 120 |
(1)確定a,d的值;
(2)試判斷能否有90%的把握認為VR知識的測試成績優(yōu)秀與否與性別有關;
(3)為了宣傳普及VR知識,從該校測試成績獲得優(yōu)秀的同學中按性別采用分層抽樣的方法,隨機選出6名組成宣傳普及小組.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2名到校外宣傳,求“到校外宣傳的2名同學中至少有1名是男生”的概率.
附:
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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