Question

【題目】設函數， ．

（1）當時，求函數的極小值；

（2）討論函數零點的個數；

（3）若對任意的， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值2；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入，求得，得到和的解集，得出函數的單調性，即可求解函數的極小值；

（Ⅱ）由題意得，令，得，設，求得，得到的單調性，得到的最大值，分類討論，即可求解零點的個數；

（Ⅲ）由題意原命題等價于恒成立，設，進而轉化為在上單調遞減，利用導數，即可求得實數的取值范圍．

試題解析：

（1）因為，所以當時， ， 在上單調遞減；當時， ， 在上單調遞增；

所以當時， 取得極小值.

（2） ，

令，得．

設，則 ．

所以當時， ， 在上單調遞增；

當時， ， 在上單調遞減；

所以的最大值為，又，可知：

①當時，函數沒有零點；②當或時，函數有且僅有1個零點；

③當時，函數有2個零.

（3）原命題等價于恒成立． .

設 ，

則等價于在上單調遞減．

即在上恒成立，

所以 恒成立，所以．

即的取值范圍是．